Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (le côté en face de l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Avec des côtés a et b de part et d’autre de l’angle droit et une hypoténuse c, cela s’écrit a² + b² = c². Il sert à calculer une longueur manquante, ou à vérifier qu’un triangle est bien rectangle.
L’énoncé du théorème de Pythagore
Le théorème ne s’applique qu’à un triangle qui possède un angle droit (90°). Dans ce triangle, on distingue :
- les deux côtés de l’angle droit, ceux qui forment le coin du triangle ;
- l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long des trois.
Énoncé : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Pour un triangle ABC rectangle en A, on écrit BC² = AB² + AC². Le « carré » d’une longueur est cette longueur multipliée par elle-même : 3² = 3 × 3 = 9.
Une lecture géométrique aide à retenir la formule : si l’on construit un carré sur chacun des trois côtés, l’aire du grand carré (celui de l’hypoténuse) est égale à la somme des aires des deux petits carrés.
Comment calculer avec le théorème de Pythagore
Deux situations se présentent, selon que l’on cherche l’hypoténuse ou l’un des côtés de l’angle droit. Dans les deux cas, la méthode est la même : repérer l’angle droit, nommer l’hypoténuse, écrire l’égalité, remplacer par les valeurs connues, puis calculer.
| On cherche | Égalité à utiliser | Dernière étape |
|---|---|---|
| L’hypoténuse c | c² = a² + b² | c = √(a² + b²) |
| Un côté de l’angle droit a | a² = c² − b² | a = √(c² − b²) |
Calculer l’hypoténuse
Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 3 cm et 4 cm. On écrit c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc c = √25 = 5 cm. Ce triangle de côtés 3, 4 et 5 est le plus célèbre : c’est ce que l’on appelle souvent le « triangle de Pythagore ».
Calculer un côté de l’angle droit
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 5 cm et un côté de 3 cm. On écrit a² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc a = √16 = 4 cm. Attention à ne pas additionner dans ce cas : on soustrait, car l’hypoténuse c est seule d’un côté de l’égalité c² = a² + b² : on retire donc le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse.
Quand le résultat n’est pas un nombre entier
Le plus souvent, la racine carrée ne tombe pas juste. Pour un carré de côté 1, la diagonale vérifie d² = 1² + 1² = 2, donc d = √2 ≈ 1,414. On donne alors soit la valeur exacte (√2), soit une valeur approchée à la précision demandée. Ce nombre est d’ailleurs ancien : une tablette babylonienne appelée YBC 7289 en donne déjà une approximation très précise (1,414212963 pour une valeur réelle de 1,414213562).
Les erreurs les plus fréquentes
- Appliquer le théorème à un triangle qui n’est pas rectangle : l’égalité est alors fausse.
- Oublier de passer à la racine carrée à la fin : on obtient c², pas c.
- Désigner comme hypoténuse un côté qui n’est pas en face de l’angle droit.
- Additionner au lieu de soustraire quand on cherche un côté de l’angle droit.
La réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle
Le théorème a une réciproque : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle. On compare donc deux nombres.
Exemple : un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Le plus grand côté est 10, et 10² = 100. D’autre part, 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Les deux nombres sont égaux, le triangle est rectangle, et son angle droit est en face du côté de 10 cm.
Autre exemple : côtés de 5 cm, 6 cm et 8 cm. On calcule 8² = 64 et 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Les deux nombres sont différents, donc le triangle n’est pas rectangle. Cette version, qui conclut à la négative, est la contraposée du théorème.
Au collège, ce chapitre figure au programme du cycle 4, en quatrième, et revient ensuite régulièrement en troisième, au brevet et au lycée.
À quoi sert le théorème de Pythagore ?
Le théorème sert à obtenir une distance que l’on ne peut pas mesurer directement, à partir de deux longueurs que l’on connaît et d’un angle droit. Voici des usages concrets, avec les calculs.
Vérifier qu’un angle est droit sur un chantier
Pour tracer un angle droit au sol (fondations, terrasse, cadre de mur), les professionnels s’appuient sur le triangle de côtés 3, 4 et 5, ou sur ses multiples comme 30, 40 et 50 cm. Si la mesure entre les deux repères vaut bien 5 quand les côtés valent 3 et 4, l’angle est droit : c’est la réciproque en action.
Calculer une diagonale
La diagonale d’un rectangle de 8 cm sur 6 cm vaut √(8² + 6²) = √100 = 10 cm. Même principe pour un écran : pour un écran de 48 cm de large et 27 cm de haut, la diagonale vaut √(48² + 27²) = √3033, soit environ 55,07 cm.
Poser une échelle
Une échelle de 4 m est posée contre un mur, son pied à 1,20 m du mur. La hauteur atteinte est √(4² − 1,2²) = √(16 − 1,44) = √14,56, soit environ 3,82 m. Le mur et le sol forment l’angle droit, l’échelle est l’hypoténuse.
Mesurer la distance la plus courte entre deux points
Sur un plan ou une carte, si l’on se déplace de 3 km vers l’est puis de 4 km vers le nord, la distance « à vol d’oiseau » est de 5 km. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points se calcule de la même façon, avec les écarts horizontal et vertical comme côtés de l’angle droit.
Dans les autres matières
- Géométrie dans l’espace : la diagonale d’un pavé droit s’obtient en appliquant le théorème deux fois de suite.
- Physique : on l’emploie pour composer deux vecteurs perpendiculaires, par exemple deux vitesses à angle droit, ou deux déplacements perpendiculaires comme dans un trajet de navigation vers l’est puis vers le nord.
- Trigonométrie : la relation cos² + sin² = 1 découle directement du théorème.
- Dessin et architecture : vérification d’équerrage, calcul de longueurs de rampes, de toitures et de contreventements.
Qui était Pythagore, et d’où vient le théorème ?
Pythagore était un philosophe et mathématicien grec du VIe siècle avant J.-C. Il est resté célèbre pour l’école qu’il a fondée, dont les disciples ont prolongé l’enseignement après lui. On lui attribue traditionnellement le théorème, mais les sources de son époque sont rares et il est difficile de savoir ce qui vient de lui plutôt que de ses disciples.
Ce qui est établi, c’est que la relation était connue bien avant. D’après l’histoire des mathématiques de l’université de St Andrews, les mathématiciens de l’ancienne Babylone la maîtrisaient entre 1900 et 1600 av. J.-C. La tablette Plimpton 322, datée d’environ 1800 à 1650 av. J.-C., contient une liste de triplets d’entiers qui vérifient a² + b² = c². Le nom de Pythagore est resté attaché au théorème, mais la relation est bien plus ancienne que lui.
Comment retenir et réviser le théorème
- Dessiner toujours le triangle et marquer l’angle droit avant d’écrire quoi que ce soit.
- Surligner l’hypoténuse : son carré est toujours seul d’un côté de l’égalité, la somme des deux autres carrés étant de l’autre.
- Retenir quelques triplets : 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13. Ils permettent de vérifier un résultat de tête.
- Contrôler le résultat : l’hypoténuse doit être plus grande que chacun des deux autres côtés.
- Rédiger en quatre temps : « le triangle est rectangle en… », « d’après le théorème de Pythagore », égalité, calcul.
Questions fréquentes
C’est quoi le théorème de Pythagore ?
C’est une propriété des triangles rectangles : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, soit a² + b² = c². Elle permet de calculer une longueur inconnue.
À quoi sert le théorème de Pythagore ?
Il sert à calculer des longueurs (diagonales, hauteurs atteintes par une échelle, distances entre deux points) et à vérifier qu’un angle est droit, notamment sur les chantiers grâce au triangle 3-4-5.
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
On utilise la réciproque : on calcule le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S’ils sont égaux, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l’est pas.
Pythagore a-t-il vraiment inventé ce théorème ?
Le théorème porte son nom et la tradition le lui attribue, mais la relation était déjà connue des Babyloniens entre 1900 et 1600 av. J.-C., soit plus de mille ans avant Pythagore.
