Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les plus petits sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur.
Définition d’un nombre premier
Un entier est premier lorsqu’on ne peut le diviser exactement que par 1 et par lui-même. Dit autrement, il ne se range dans aucune table de multiplication, à part celle de 1 et la sienne. Un entier supérieur à 1 qui n’est pas premier s’appelle un nombre composé : il s’écrit comme un produit d’entiers plus petits.
- 2 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 2. C’est le seul nombre premier pair, car tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.
- 13 est premier : aucun entier autre que 1 et 13 ne le divise.
- 15 n’est pas premier : 15 = 3 × 5.
- 91 n’est pas premier, même s’il en a l’air : 91 = 7 × 13.
Pourquoi 1 n’est pas un nombre premier
Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur positif, lui-même, alors qu’un nombre premier en a exactement deux. Cette exclusion n’est pas arbitraire : elle permet d’énoncer proprement le théorème fondamental de l’arithmétique. Si 1 était premier, on pourrait écrire 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3, et la décomposition ne serait plus unique.
Les nombres premiers jusqu’à 100
Il y en a 25 en dessous de 100 :
| Intervalle | Nombres premiers |
|---|---|
| De 1 à 20 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 |
| De 21 à 50 | 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| De 51 à 100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
Plus on avance, plus ils se raréfient, mais ils ne s’arrêtent jamais.
À quoi servent les nombres premiers ?
Les nombres premiers sont les « briques de base » des entiers. Le théorème fondamental de l’arithmétique affirme que tout entier supérieur à 1 se décompose en un produit de nombres premiers, et que cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près. Par exemple, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5, et aucune autre écriture en facteurs premiers n’existe.
Cette décomposition sert au collège et au lycée dans des situations très concrètes :
- simplifier une fraction, en cherchant les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur ;
- calculer un PGCD ou un PPCM ;
- additionner des fractions en trouvant un dénominateur commun ;
- déterminer si un nombre est un carré parfait (tous les exposants de sa décomposition sont pairs).
Hors de la classe, les nombres premiers interviennent aussi en informatique. Le chiffrement RSA, utilisé pour sécuriser des échanges sur internet, repose sur un fait simple à énoncer : multiplier deux très grands nombres premiers est rapide, mais retrouver ces deux facteurs à partir du produit est extrêmement long. Les tables de hachage et certains générateurs de nombres pseudo-aléatoires s’appuient également sur les nombres premiers.
Un peu d’histoire
Euclide et l’infinité des nombres premiers
Les nombres premiers sont étudiés depuis l’Antiquité grecque. Dans ses Éléments, rédigés vers 300 avant notre ère, Euclide démontre qu’il existe une infinité de nombres premiers. Son raisonnement est resté célèbre pour sa simplicité : si l’on multiplie entre eux tous les nombres premiers d’une liste finie et qu’on ajoute 1, le résultat n’est divisible par aucun nombre de la liste. Ses diviseurs premiers sont donc de nouveaux nombres premiers, et aucune liste ne peut être complète.
Le crible d’Ératosthène
Un autre savant grec, Ératosthène, est associé à une méthode de recherche toujours enseignée : le crible. Elle consiste à écrire les entiers jusqu’à une limite donnée, puis à barrer successivement les multiples de chaque nombre premier rencontré. Ce qui reste n’est jamais barré : ce sont les nombres premiers.
Des records à l’ère de l’informatique
Aujourd’hui, les records sont obtenus par calcul distribué. Le plus grand nombre premier connu est 2136 279 841 − 1, un nombre de Mersenne de 41 024 320 chiffres. Il a été découvert le 12 octobre 2024 par Luke Durant dans le cadre du projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), grâce à des cartes graphiques de calcul. Ce nombre a remplacé 282 589 933 − 1, qui détenait le record depuis 2018.
Une question encore ouverte
Malgré des siècles de recherche, les nombres premiers gardent une part de mystère. On ne connaît pas de formule simple qui les fournisse tous, ni de régularité qui permettrait de prévoir le suivant. C’est ce qui fait de la théorie des nombres un domaine de recherche toujours actif.
Comment savoir si un nombre est premier ?
Plusieurs méthodes existent, de la plus intuitive à la plus performante. Pour un élève, les trois premières suffisent largement.
Le test par divisions successives
La méthode de base consiste à essayer de diviser le nombre par tous les entiers plus petits que lui, à partir de 2. Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier. Pour 7, on teste 2, 3, 4, 5 et 6 : aucun ne divise 7, donc 7 est premier. Cela fonctionne, mais devient vite long.
La méthode de la racine carrée
Il est inutile de tester tous les diviseurs. Si un nombre n est composé, il possède au moins un diviseur inférieur ou égal à sa racine carrée. On ne teste donc que les nombres premiers jusqu’à √n.
- Exemple avec 97 : √97 vaut environ 9,8. On teste 2, 3, 5 et 7. Aucun ne divise 97, donc 97 est premier.
- Exemple avec 91 : √91 vaut environ 9,5. On teste 2, 3, 5, puis 7 : 91 = 7 × 13. Le nombre 91 est composé.
- Exemple avec 7 : √7 vaut environ 2,65. Il suffit de tester 2, qui ne divise pas 7. Le nombre 7 est premier.
Les critères de divisibilité
Pour éliminer rapidement les nombres composés, quelques réflexes aident :
- un nombre qui se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 est divisible par 2 : il n’est premier que s’il vaut 2 ;
- un nombre qui se termine par 0 ou 5 est divisible par 5 : il n’est premier que s’il vaut 5 ;
- un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 3 est divisible par 3 : 51 (5 + 1 = 6) n’est donc pas premier, car 51 = 3 × 17.
Le crible d’Ératosthène, pas à pas
Pour dresser la liste des nombres premiers jusqu’à 50, par exemple :
- écrivez les entiers de 2 à 50 ;
- gardez 2 et barrez tous ses multiples (4, 6, 8, etc.) ;
- passez au premier nombre non barré, 3, gardez-le et barrez ses multiples ;
- répétez avec 5, puis 7 : au-delà, inutile de continuer, car 11 × 11 dépasse 50 ;
- les nombres qui n’ont pas été barrés sont les nombres premiers.
Les algorithmes pour les grands nombres
Pour des nombres de plusieurs centaines de chiffres, les divisions deviennent impraticables. On utilise alors des algorithmes spécialisés. L’algorithme AKS, publié en 2002, a montré qu’il est possible de décider avec certitude si un nombre est premier en un temps polynomial. Ces outils s’exécutent sur ordinateur ; en classe, une calculatrice programmable suffit pour des nombres de taille raisonnable.
Les erreurs fréquentes
- Penser que 1 est premier. Ce n’est pas le cas : il n’a qu’un seul diviseur.
- Croire que 2 n’est pas premier parce qu’il est pair. C’est au contraire le seul nombre premier pair.
- Oublier que tout nombre impair n’est pas premier. 9, 15, 21, 25, 27 et 91 sont impairs et composés.
- S’arrêter trop tôt dans le test. Avec la racine carrée, il faut tester tous les nombres premiers jusqu’à √n inclus, sinon on conclut à tort.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
C’est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.
Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ?
Parce qu’il n’a qu’un seul diviseur positif, lui-même, alors qu’un nombre premier doit en avoir deux. Cette règle garantit aussi que la décomposition d’un entier en facteurs premiers est unique.
À quoi servent les nombres premiers ?
Ils servent à décomposer les entiers, à simplifier des fractions, à calculer des PGCD et des PPCM. En informatique, ils sont au cœur du chiffrement RSA, des tables de hachage et de certains générateurs pseudo-aléatoires.
Les nombres premiers sont-ils infinis ?
Oui. Euclide l’a démontré vers 300 avant notre ère : quelle que soit la liste de nombres premiers dont on dispose, on peut toujours en trouver un nouveau. Le plus grand connu à ce jour, découvert en octobre 2024, compte plus de 41 millions de chiffres.
